☛ Encadrer une intégrale

Énoncé
Donner un encadrement de l'intégrale  \(I=\displaystyle \int_1^4 \dfrac{1}{\sqrt x+1}\text d x\) .

Solution

Soit \(f\) la fonction définie sur \([1~;~4]\) par \(f(x)= \dfrac{1}{\sqrt x+1}\) .

\(f\)  est dérivable sur  \([1~;~4]\) (donc \(f\) est continue sur  \([1~;~4]\) ).

Pour tout \(x\) de  \([1~;~4]\) , on a \(f'(x)=-\dfrac{1}{2\sqrt x(\sqrt x+1)^2}\) .

\(f'\) est négative sur  \([1~;~4]\) , donc \(f\) est décroissante sur  \([1~;~4]\) ,

Donc, pour tout \(x\) de  \([1~;~4]\)   , \(f(4)\leqslant f(x)\leqslant f(1) \Leftrightarrow \dfrac13 \leqslant f(x)\leqslant \dfrac12\) .

Alors, par conservation de l'ordre, on a  \(\displaystyle \int_1^4 \dfrac13 \text dx\leqslant \int_1^4f(x) \text dx\leqslant \int_1^4\dfrac12 \text dx\) , soit  \(1\leqslant I\leqslant \dfrac32\) .